कणों के निकाय का कुल संवेग क्या है?

निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$1.$ कणों के एक निकाय का रैखिक संवेग शून्य है।
$2.$ कणों के एक निकाय की गतिज ऊर्जा शून्य है।
तो:

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: कणों के एक यांत्रिक निकाय के लिए,कुल गतिज ऊर्जा सभी कणों की गतिज ऊर्जाओं का योग होती है।
कथन $II$: कुल गतिज ऊर्जा को मूल बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा और संदर्भ के रूप में द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष सभी कणों की गतिज ऊर्जा के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

कणों के एक निकाय के लिए निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$A$: निकाय का रैखिक संवेग शून्य है।
$B$: निकाय की गतिज ऊर्जा शून्य है।

कणों के निकाय की गति का द्रव्यमान केंद्र की गति और द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष गति में पृथक्करण:
$(a)$ सिद्ध कीजिए $p = \sum p_{i}^{\prime} + M V$,जहाँ $p$ निकाय का कुल संवेग है,$p_{i}^{\prime} = m_{i} v_{i}^{\prime}$,और $v_{i}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष $i^{th}$ कण का वेग है। द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\sum p_{i}^{\prime} = 0$ है।
$(b)$ सिद्ध कीजिए $K = K^{\prime} + \frac{1}{2} M V^{2}$,जहाँ $K$ निकाय की कुल गतिज ऊर्जा है,$K^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष निकाय की कुल गतिज ऊर्जा है,और $\frac{1}{2} M V^{2}$ निकाय के स्थानांतरण की गतिज ऊर्जा है।
$(c)$ सिद्ध कीजिए $L = L^{\prime} + R \times M V$,जहाँ $L^{\prime} = \sum r_{i}^{\prime} \times p_{i}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग है। ध्यान दें $r_{i}^{\prime} = r_{i} - R$ है।
$(d)$ सिद्ध कीजिए $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \sum r_{i}^{\prime} \times \frac{d p_{i}^{\prime}}{d t}$। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\frac{d L^{\prime}}{d t} = \tau_{ext}^{\prime}$,जहाँ $\tau_{ext}^{\prime}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः निकाय पर कार्य करने वाले सभी बाह्य बलाघूर्णों का योग है।

$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक समान छड़ को एक चिकनी क्षैतिज सतह पर रखा गया है। $v$ वेग से गति करता हुआ $m$ द्रव्यमान का एक कण छड़ के एक सिरे पर लंबवत टकराता है और विराम अवस्था में आ जाता है। टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग क्या होगा?